Modelos lineales generalizados para reserving¶

Los modelos lineales generalizados, o GLM por sus siglas en inglés, permiten representar el desarrollo de reclamaciones dentro de un marco estadístico explícito. A diferencia de un método determinístico, un GLM especifica una distribución, una relación entre media y varianza, un predictor y una función de enlace.

En reserving, los GLM suelen aplicarse a celdas incrementales. Pueden reproducir la estructura de Chain Ladder y extenderla con exposición, inflación, producto, región, prestador u otras variables explicativas.

Objetivos¶

Al finalizar este capítulo, el lector podrá:

identificar los componentes de un GLM;
seleccionar una distribución y una función de enlace;
formular un modelo sobre un triángulo incremental;
incorporar exposición mediante un offset;
interpretar coeficientes y predicciones;
diagnosticar sobre-dispersión y mala especificación;
proyectar el triángulo inferior;
cuantificar incertidumbre de proceso y parámetros;
reconocer riesgos de aplicación en seguros de salud.

Por qué usar un GLM¶

Chain Ladder resume el desarrollo mediante factores. Un GLM permite expresar el mismo problema como una relación estadística entre celdas.

Esta formulación aporta:

estimación por máxima verosimilitud o cuasi-verosimilitud;
errores estándar de parámetros;
residuos y medidas de ajuste;
comparación de especificaciones;
incorporación de variables adicionales;
validación fuera de muestra;
simulación predictiva.

El GLM no elimina la necesidad de construir y validar correctamente el triángulo. Una estructura estadística sofisticada no compensa errores en periodos de origen, edades de desarrollo o fecha de valuación.

Componentes del modelo¶

Un GLM tiene tres elementos.

Componente aleatorio¶

La variable respuesta (Y_i) pertenece a una familia de dispersión exponencial. Su media y varianza se expresan como:

\[ E[Y_i]=\mu_i \]

\[ \mathrm{Var}(Y_i)=\phi V(\mu_i) \]

donde:

\(\mu_i\) es la media condicional;
\(\phi\) es el parámetro de dispersión;
\(V(\mu_i)\) es la función de varianza.

Componente sistemático¶

El predictor lineal es:

\[ \eta_i = \beta_0 + \beta_1x_{i1}+\cdots+\beta_px_{ip} \]

Función de enlace¶

La función de enlace conecta la media con el predictor:

\[ g(\mu_i)=\eta_i \]

El enlace logarítmico es frecuente en reserving porque garantiza medias positivas:

\[ \log(\mu_i)=\eta_i \]

Formulación sobre el triángulo¶

Sea (Y_{i,j}) el monto incremental del periodo de origen (i) a edad de desarrollo (j). Una especificación básica es:

\[ \log(\mu_{i,j})=\alpha_i+\beta_j \]

donde:

\(\alpha_i\) representa diferencias entre periodos de origen;
\(\beta_j\) representa el patrón de desarrollo.

Una extensión con exposición (e_i) utiliza:

\[ \log(\mu_{i,j})= \log(e_i)+\alpha_i+\beta_j \]

El término \(\log(e_i)\) es un offset: su coeficiente se fija en uno.

También pueden incluirse variables como producto, región, tipo de servicio o indicador de cambio operativo:

\[ \log(\mu_{i,j})= \log(e_i)+\alpha_i+\beta_j+x_{i,j}^{\top}\gamma \]

Origen, desarrollo y calendario¶

El periodo calendario está determinado por origen y desarrollo:

\[ calendario=origen+desarrollo \]

Por esta relación, un modelo con conjuntos completos de efectos categóricos de origen, desarrollo y calendario no es identificable sin restricciones adicionales.

Opciones habituales:

modelar origen y desarrollo;
sustituir parte de los efectos por tendencias;
imponer restricciones de identificación;
usar penalización;
incluir variables calendario específicas y justificadas;
aplicar un modelo jerárquico o suavizado.

La parametrización debe permitir separar razonablemente desarrollo, tendencia y choque calendario.

Selección de distribución¶

Familia	Función de varianza	Uso posible	Advertencia
Poisson	\(V(\mu)=\mu\)	Conteos o estructura Chain Ladder	Puede subestimar dispersión
Poisson sobredispersado	\(V(\mu)=\mu\), \(\phi\) libre	Incrementales no negativos	Es una formulación de cuasi-verosimilitud
Gamma	\(V(\mu)=\mu^2\)	Montos positivos continuos	No admite ceros ni negativos
Tweedie	\(V(\mu)=\mu^p\)	Mezcla de ceros y montos positivos	Requiere seleccionar o estimar \(p\)
Binomial negativa	\(V(\mu)=\mu+\kappa\mu^2\)	Conteos sobredispersos	No es una distribución de montos agregados

La familia debe elegirse según la naturaleza de la respuesta, no únicamente por el menor AIC.

Incrementales negativos¶

Reversos, recuperaciones, glosas y ajustes pueden producir valores negativos. Poisson, Gamma y Tweedie estándar no los admiten.

Antes de modelar se debe decidir si corresponde:

corregir un error de datos;
separar pagos y recuperaciones;
agregar periodos;
usar otra distribución;
modelar componentes positivos y negativos;
aplicar escenarios fuera del GLM principal.

Exposición y pesos¶

La exposición puede representar afiliados-mes, pólizas, vidas o unidades de riesgo. Debe distinguirse entre:

offset, que ajusta la media esperada por exposición;
peso de frecuencia, que representa observaciones repetidas;
peso de varianza, que modifica la precisión relativa.

Usar exposición como peso cuando corresponde un offset cambia la interpretación del modelo.

Estimación¶

Los parámetros se estiman maximizando la log-verosimilitud:

\[ \ell(\beta)= \sum_i \log f(y_i\mid \beta,\phi) \]

En muchos GLM, el cálculo se realiza mediante mínimos cuadrados reponderados iterativamente, o IRLS.

La estimación produce:

coeficientes;
matriz de covarianza;
valores ajustados;
residuos;
deviance;
log-verosimilitud;
criterios de información, cuando son comparables.

Interpretación con enlace logarítmico¶

Si un coeficiente es \(\beta_k\), el cambio multiplicativo esperado es:

\[ \exp(\beta_k) \]

Por ejemplo, \(\beta_k=0.10\) implica, manteniendo lo demás constante:

\[ \exp(0.10)-1\approx10.5\% \]

Para variables categóricas, la interpretación siempre es respecto de la categoría de referencia.

Proyección del triángulo inferior¶

Después de ajustar el modelo a las celdas observadas:

construir las covariables de cada celda futura;
calcular \(\widehat\eta_{i,j}\);
transformar a la escala de respuesta;
sumar incrementales futuros por periodo de origen;
obtener ultimate e IBNR.

Con enlace logarítmico:

\[ \widehat\mu_{i,j}=\exp(\widehat\eta_{i,j}) \]

\[ \widehat{IBNR}= \sum_{i,j\in\text{futuro}}\widehat\mu_{i,j} \]

La matriz futura debe conservar la misma codificación de variables, niveles categóricos y tratamiento de exposición usados en el ajuste.

Incertidumbre predictiva¶

El error estándar de la media ajustada no equivale a la incertidumbre de la reserva futura.

Una distribución predictiva debe incluir:

incertidumbre de parámetros;
riesgo de proceso;
dependencia relevante;
incertidumbre de cola;
riesgo de modelo mediante escenarios o modelos alternativos.

Opciones de cálculo:

simulación paramétrica de coeficientes y proceso;
Bootstrap;
aproximación delta;
modelo bayesiano;
combinación con escenarios actuariales.

Diagnósticos¶

Residuos¶

Revisar residuos de Pearson y deviance por:

periodo de origen;
edad de desarrollo;
periodo calendario;
producto o segmento;
tamaño del valor ajustado.

Patrones sistemáticos indican mala especificación.

Dispersión¶

Una estimación conceptual es:

\[ \widehat\phi= \frac{\sum_i r_{P,i}^2}{n-p} \]

Valores muy superiores a uno bajo Poisson sugieren sobre-dispersión. La causa puede ser heterogeneidad, dependencia, variables omitidas o una familia inadecuada.

Influencia¶

Investigar:

leverage;
distancia de Cook;
celdas con gran deviance;
sensibilidad al retirar diagonales o filas.

Ajuste y selección¶

Usar con cautela:

deviance;
AIC y BIC;
log-verosimilitud;
validación temporal;
error predictivo en diagonales retenidas.

AIC solo es comparable entre modelos ajustados a la misma respuesta y datos bajo verosimilitudes compatibles.

Validación temporal¶

Un esquema útil es el backtesting por fecha de corte:

reconstruir un triángulo histórico;
ajustar el GLM;
predecir la siguiente diagonal;
comparar predicción y observación;
repetir para varios cierres.

Métricas posibles:

sesgo total;
MAE;
RMSE;
deviance predictiva;
cobertura de intervalos;
error por edad y segmento.

MAPE puede ser inestable cuando existen valores cercanos a cero.

Ejemplo en Python¶

El siguiente ejemplo usa nombres de clase vigentes en statsmodels y un enlace logarítmico explícito:

import numpy as np
import statsmodels.api as sm
import statsmodels.formula.api as smf

observed = df.loc[df["is_observed"]].copy()

model = smf.glm(
    formula=(
        "incremental_paid ~ "
        "C(origin_period) + C(development_age)"
    ),
    data=observed,
    family=sm.families.Gamma(
        link=sm.families.links.Log()
    ),
    offset=np.log(observed["exposure"]),
)

result = model.fit()
print(result.summary())

Este ejemplo requiere incrementales positivos. Para predecir, el offset futuro debe suministrarse nuevamente con la exposición correspondiente.

Ejemplo en R¶

fit <- glm(
  incremental_paid ~
    factor(origin_period) +
    factor(development_age) +
    offset(log(exposure)),
  family = Gamma(link = "log"),
  data = observed
)

summary(fit)

Aplicación en seguros de salud¶

Los GLM pueden incorporar explícitamente:

afiliados-mes;
grupo etario y sexo;
región;
producto y plan de beneficios;
tipo de prestador;
ámbito hospitalario o ambulatorio;
inflación médica;
utilización;
canal de radicación;
cambio de contrato;
indicador de gran reclamación.

Debe evitarse introducir variables conocidas solo después de la fecha de valuación. Eso produciría fuga de información y una validación artificialmente favorable.

Comparación con Chain Ladder¶

Aspecto	Chain Ladder	GLM
Patrón de desarrollo	Factores explícitos	Efectos estimados
Variables adicionales	Limitadas	Sí
Distribución	No explícita	Explícita o cuasi-likelihood
Residuos	Diagnósticos auxiliares	Parte central del modelo
Inferencia	Limitada	Sí
Validación predictiva	Posible	Natural dentro del flujo
Complejidad	Baja	Media

Un GLM de origen y desarrollo puede reproducir una estructura equivalente a Chain Ladder bajo determinadas especificaciones. Por eso Chain Ladder es un benchmark natural.

Controles de producción¶

Documentar:

definición de la respuesta;
celdas observadas y futuras;
exposición y offset;
familia y enlace;
variables y codificación;
restricciones de identificación;
tratamiento de ceros y negativos;
dispersión;
diagnósticos;
validación temporal;
incertidumbre predictiva;
versión de datos, código y dependencias;
comparación con métodos actuariales de referencia.

Buenas prácticas¶

comenzar con una especificación simple;
utilizar Chain Ladder como benchmark;
justificar familia y enlace;
revisar origen, desarrollo y calendario;
separar predicción de la media y distribución predictiva;
validar con cierres históricos;
probar sensibilidad a segmentación y cola;
comunicar limitaciones y riesgo de modelo.

Referencias¶

McCullagh, P. y Nelder, J. A. Generalized Linear Models.
England, P. D. y Verrall, R. J. Stochastic Claims Reserving in General Insurance.
Wüthrich, M. V. y Merz, M. Stochastic Claims Reserving Methods in Insurance.
Documentación oficial de GLM en statsmodels.

Capítulos relacionados¶

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